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Estimação por Intervalos

No capítulo anterior, além de introduzirmos o estudo da estatística, vimos métodos para indicar o valor mais provável para um certo parâmetro. Neste capítulo, em vez de procurarmos formas de indicar o valor exato de um parâmetro, vamos procurar descobrir um intervalo no qual tenhamos um certo grau de confiança que o parâmetro esteja incluído.

Intervalo de Confiança (IC)

Damos o nome de intervalo de confiança a um intervalo [aα,bα][a_\alpha, b_\alpha] tal que, para um parâmetro desconhecido θ\theta, temos que

P(θ<aα)=P(θ>bα)=α2⇒P(aα≤θ≤bα)=1−αP(\theta < a_\alpha) = P(\theta > b_\alpha) = \frac{\alpha}{2} \\ \Rightarrow P(a_\alpha \leq \theta \leq b_\alpha) = 1 - \alpha

O valor 1−α1-\alpha designa-se grau de confiança - temos (1−α)×100%(1-\alpha) \times 100 \% de confiança que o parâmetro que queremos descobrir está no intervalo dado.

Método da VA fulcral

O método da VA fulcral é um método que permite definir um IC com grau de confiança 1−α1-\alpha (exato ou aproximado). Para isto, é primeiro necessário identificar o parâmetro desconhecido θ\theta, a VA de interesse XX, bem como a sua distribuição que pode ou não depender de outros parâmetros (conhecidos ou desconhecidos).

  1. Seleção da VA fulcral - O primeiro passo corresponde à identificação de uma VA (fulcral) Z=Z(X‾,θ)Z = Z(\underline{X}, \theta), cuja distribuição seja independente de θ\theta. Note-se como esta VA depende da amostra aleatória X‾\underline{X}. A seleção desta VA fulcral depende da distribuição de XX, do parâmetro que queremos determinar e dos restantes parâmetros da distribuição XX, conhecidos ou não (vamos ver como selecionar esta VA mais à frente);
  2. Obtenção dos quantis - De seguida, temos de determinar aα,bαa_\alpha, b_\alpha tais que P(Z<aα)=P(Z>bα)=α2P(Z < a_\alpha) = P(Z > b_\alpha) = \frac{\alpha}{2}, ou seja
    aα=FZ−1(α2)bα=FZ−1(1−α2)a_\alpha = F_Z^{-1}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \quad \quad \quad b_\alpha = F_Z^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)
  3. Obtenção dos extremos aleatórios - Manuseamos as expressões acima para obter T1(X‾)T_1(\underline{X}), T2(X‾)T_2(\underline{X}) tais que P(θ≤T1(X‾))=P(T2(X‾)≤θ)=α2P(\theta \leq T_1(\underline{X})) = P(T_2(\underline{X}) \leq \theta) = \frac{\alpha}{2}
  4. Concretização - Finalmente, substituímos X‾\underline{X} por x‾\underline{x} de forma a obter IC(θ)=[T1(x‾),T2(x‾)]IC(\theta) = [T_1(\underline{x}), T_2(\underline{x})], com grau de confiança 1−α1-\alpha.

Abaixo, vamos ver que VA fulcral usar em diversos cenários. Estas expressões podem ser encontradas no formulário pelo que não é preciso decorá-las, mas é relevante praticar e perceber em que situação se usa cada fórmula.
No fim deste capítulo, encontram-se alguns exemplos para perceber melhor este método.

Determinação de μ\mu para σ2\sigma^2 conhecido

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro μ\mu (valor esperado) de uma VA arbitrária XX cuja variância já conhecemos.

Parâmetro desconhecido: μ\mu
VA de interesse: Uma VA qualquer a que vamos chamar XX
Outros parâmetros: σ2\sigma^2 (conhecido)

Se X∼normal⁡(μ,σ2)X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2), sabemos que

Z=X‾−μσn∼normal⁡(0,1)Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim \op{normal}(0,1)

Aplicando o método da VA fulcral à VA ZZ, obtemos um intervalo de confiança

IC(μ)=[x‾−Φ−1(1−α2)σn,x‾+Φ−1(1−α2)σn]IC(\mu) = \left[ \overline{x} - \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \overline{x} + \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]

com grau de confiança exatamente 1−α1-\alpha.

Se XX não seguir uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter

Z=X‾−μσn∼anormal⁡(0,1)Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sima \op{normal}(0,1)

e portanto podemos obter um intervalo de confiança

IC(μ)=[x‾−Φ−1(1−α2)σn,x‾+Φ−1(1−α2)σn]IC(\mu) = \left[ \overline{x} - \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \overline{x} + \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]

com grau de confiança aproximadamente 1−α1-\alpha.

Determinação de μ1−μ2\mu_1 - \mu_2 para σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2 conhecidos

Esta determinação não é lecionada no programa de 2021/22.

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro μ1−μ2\mu_1 - \mu_2 (diferença entre os valores esperados) para duas VA arbitrárias X1,X2X_1, X_2 independentes entre si (X1⊥ ⁣ ⁣ ⁣⊥X2X_1 \indep X_2) cuja variância já conhecemos.

Parâmetro desconhecido: μ1−μ2\mu_1 - \mu_2
VA de interesse: Duas VA quaisquer a que vamos chamar X1,X2X_1, X_2, X1⊥ ⁣ ⁣ ⁣⊥X2X_1 \indep X_2
Outros parâmetros: σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2 (conhecidos)

Se Xi∼normal⁡(μi,σi2)X_i \sim \op{normal}(\mu_i, \sigma_i^2) (i∈{1,2}i \in \{1,2\}), temos que

Z=(X1‾−X2‾)−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2∼normal⁡(0,1)Z = \frac{(\overline{X_1} - \overline{X_2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim \op{normal}(0,1)

Aplicando o método da VA fulcral à VA ZZ, obtemos um intervalo de confiança

IC(μ)=[(x1‾−x2‾)−Φ−1(1−α2)σ12n1+σ22n2,(x1‾−x2‾)+Φ−1(1−α2)σ12n1+σ22n2]IC(\mu) = \left[ (\overline{x_1} - \overline{x_2}) - \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}, \quad (\overline{x_1} - \overline{x_2}) + \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \right]

com grau de confiança exatamente 1−α1-\alpha.

Se X1X_1 e X2X_2 não seguirem uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter

Z=(X1‾−X2‾)−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2∼anormal⁡(0,1)Z = \frac{(\overline{X_1} - \overline{X_2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sima \op{normal}(0,1)

e portanto podemos obter um intervalo de confiança

IC(μ)=[(x1‾−x2‾)−Φ−1(1−α2)σ12n1+σ22n2,(x1‾−x2‾)+Φ−1(1−α2)σ12n1+σ22n2]IC(\mu) = \left[ (\overline{x_1} - \overline{x_2}) - \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}, \quad (\overline{x_1} - \overline{x_2}) + \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \right]

com grau de confiança aproximadamente 1−α1-\alpha.

Determinação de μ\mu para σ2\sigma^2 desconhecido

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro μ\mu (valor esperado) de uma VA arbitrária XX cuja variância não conhecemos (portanto vamos ter de a estimar também).

Parâmetro desconhecido: μ\mu
VA de interesse: Uma VA qualquer a que vamos chamar XX
Outros parâmetros: σ2\sigma^2 (desconhecido)

Se X∼normal⁡(μ,σ2)X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2), temos que

Z=X‾−μsn∼t(n−1)Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sim t_{(n-1)}

em que ss é um estimador para a variância - a variância corrigida.
Aplicando o método da VA fulcral à VA ZZ, obtemos um intervalo de confiança

IC(μ)=[x‾−Ft(n−1)−1(1−α2)sn,x‾+Ft(n−1)−1(1−α2)sn]IC(\mu) = \left[ \overline{x} - F_{t_{(n-1)}}^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \frac{s}{\sqrt{n}}, \quad \overline{x} + F_{t_{(n-1)}}^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \frac{s}{\sqrt{n}} \right]

com grau de confiança exatamente 1−α1-\alpha.

Se XX não seguir uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter

Z=X‾−μsn∼anormal⁡(0,1)Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sima \op{normal}(0,1)

e portanto podemos obter um intervalo de confiança

IC(μ)=[x‾−Φ−1(1−α2)sn,x‾+Φ−1(1−α2)sn]IC(\mu) = \left[ \overline{x} - \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \frac{s}{\sqrt{n}}, \quad \overline{x} + \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \frac{s}{\sqrt{n}} \right]

com grau de confiança aproximadamente 1−α1-\alpha.

Determinação de μ1−μ2\mu_1 - \mu_2 para σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2 desconhecidos

Esta determinação não é lecionada no programa de 2021/22.

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro μ1−μ2\mu_1 - \mu_2 (diferença entre os valores esperados) para duas VA arbitrárias X1,X2X_1, X_2 independentes entre si (X1⊥ ⁣ ⁣ ⁣⊥X2X_1 \indep X_2) cuja variância não conhecemos.

Parâmetro desconhecido: μ1−μ2\mu_1 - \mu_2
VA de interesse: Duas VA quaisquer a que vamos chamar X1,X2X_1, X_2, X1⊥ ⁣ ⁣ ⁣⊥X2X_1 \indep X_2
Outros parâmetros: σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2 (desconhecidos)

Se Xi∼normal⁡(μi,σi2)X_i \sim \op{normal}(\mu_i, \sigma_i^2) (i∈{1,2}i \in \{1,2\}), temos que

Z=(X1‾−X2‾)−(μ1−μ2)(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2(1n1+1n2)∼t(n−1)Z = \frac{(\overline{X_1} - \overline{X_2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}} \sim t_{(n-1)}

Aplicando o método da VA fulcral à VA ZZ, obtemos um intervalo de confiança

IC(μ)=[(x1‾−x2‾)−Ft(n1+n2−2)−1(1−α2)(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2(1n1+1n2),(x1‾−x2‾)+Ft(n1+n2−2)−1(1−α2)(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2(1n1+1n2)]IC(\mu) = \left[ (\overline{x_1} - \overline{x_2}) - F_{t_{(n_1+n_2-2)}}^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}, \quad (\overline{x_1} - \overline{x_2}) + F_{t_{(n_1+n_2-2)}}^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)} \right]

com grau de confiança exatamente 1−α1-\alpha.

Se X1X_1 e X2X_2 não seguirem uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter

Z=(X1‾−X2‾)−(μ1−μ2)s12n1+s22n2∼anormal⁡(0,1)Z = \frac{(\overline{X_1} - \overline{X_2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \sima \op{normal}(0,1)

e portanto podemos obter um intervalo de confiança

IC(μ)=[(x1‾−x2‾)−Φ−1(1−α2)s12n1+s22n2,(x1‾−x2‾)+Φ−1(1−α2)s12n1+s22n2]IC(\mu) = \left[ (\overline{x_1} - \overline{x_2}) - \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}, \quad (\overline{x_1} - \overline{x_2}) + \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \right]

com grau de confiança aproximadamente 1−α1-\alpha.

Determinação de σ2\sigma^2 para μ\mu desconhecido

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro σ2\sigma^2 (variância) de uma VA XX cujo valor esperado não conhecemos.

Parâmetro desconhecido: σ2\sigma^2
VA de interesse: Uma VA qualquer que vamos chamar XX
Outros parâmetros: μ\mu (desconhecido)

Se X∼normal⁡(μ,σ2)X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) temos que

Z=(n−1)s2σ2∼χ(n−1)2Z = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2

Aplicando o método da VA fulcral à VA ZZ, obtemos o intervalo de confiança

IC(σ2)=[(n−1)s2Fχ(n−1)2−1(1−α2),(n−1)s2Fχ(n−1)2−1(α2)]IC(\sigma^2) = \left[ \frac{(n-1)s^2}{F^{-1}_{\chi_{(n-1)}^2} \left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}, \quad \frac{(n-1)s^2}{F^{-1}_{\chi_{(n-1)}^2} \left(\frac{\alpha}{2}\right)} \right]

com grau de confiança exatamente 1−α1-\alpha.

Determinação de pp numa Prova de Bernoulli

Parâmetro desconhecido: pp
VA de interesse: Uma VA com distribuição de Bernoulli XX

Se X∼Bernoulli(p)X \sim Bernoulli(p), temos, segundo o TLC, que para n>>n>>

X‾−pX‾(1−X‾)n∼anormal⁡(0,1)\frac{\overline{X} - p}{\sqrt{\frac{\overline{X}(1-\overline{X})}{n}}} \sima \op{normal}(0,1)

Aplicando o método da VA fulcral à VA ZZ, obtemos o intervalo de confiança

IC(p)=[x‾−Φ−1(1−α2)x‾(1−x‾)n,x‾+Φ−1(1−α2)x‾(1−x‾)n]IC(p) = \left[ \overline{x} - \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\frac{\overline{x}(1-\overline{x})}{n}}, \quad \overline{x} + \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\frac{\overline{x}(1-\overline{x})}{n}} \right]

com grau de confiança aproximadamente 1−α1-\alpha.

Determinação de λ\lambda numa distribuição de Poisson

Esta determinação não é lecionada no programa de 2021/22.

Parâmetro desconhecido: λ\lambda
VA de interesse: Uma VA com distribuição de Poisson XX

Se X∼Poisson(λ)X \sim Poisson(\lambda), temos, segundo o TLC, que para n>>n>>

X‾−λX‾n∼anormal⁡(0,1)\frac{\overline{X} - \lambda}{\sqrt{\frac{\overline{X}}{n}}} \sima \op{normal}(0,1)

Aplicando o método da VA fulcral à VA ZZ, obtemos o intervalo de confiança

IC(p)=[x‾−Φ−1(1−α2)x‾n,x‾+Φ−1(1−α2)x‾n]IC(p) = \left[ \overline{x} - \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\frac{\overline{x}}{n}}, \quad \overline{x} + \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\frac{\overline{x}}{n}} \right]

com grau de confiança aproximadamente 1−α1-\alpha.

Notas e Exemplos

Nota

Observe-se que só é possível obter intervalos de confiança exatos para VA's com distribuições normais. Num exercício é importante perceber se procuramos o IC exato ou aproximado para determinar a VA fulcral a usar.

Exemplo

A quantidade de açúcar (em grama) na calda de pêssegos em lata tem distribuição normal. É extraída uma amostra de n=10n = 10 latas que resulta num desvio padrão amostral s=4.8s = 4.8. Determine o intervalo de confiança a 95% para a variância populacional, σ2\sigma^{2}.

Queremos calcular IC0.95(σ2)IC_{0.95}(\sigma^{2}) com μ\mu desconhecido.

  • V.A de interesse:

    X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^{2})

    com μ\mu e σ\sigma desconhecidos.

  • V.A fulcral:

    T=(n−1)S2σ2=9S2σ2∼χ92T = \frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{9S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi_{9}^{2}

  • Quantis:

    a=Fχ(9)2−1(0.025)=2.70b=Fχ(9)2−1(0.975)=19.02a = F_{\chi_{(9)}^{2}}^{-1}(0.025) = 2.70 \\ b = F_{\chi_{(9)}^{2}}^{-1}(0.975) = 19.02

  • Cálculo de ICA:

    P(a<T<b)P(a < T < b)
    a<(n−1)S2σ2<ba < \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} < b
    a9S2<1σ2<b9S2\frac{a}{9S^{2}} < \frac{1}{\sigma^{2}} < \frac{b}{9S^{2}}
    9S2a>σ2>9S2b\frac{9S^{2}}{a} > \sigma^{2} > \frac{9S^2}{b}
    ICA0.95(σ2)=[9S2b,9S2a]ICA_{0.95}(\sigma^{2}) = \left[\frac{9S^{2}}{b}, \frac{9S^2}{a}\right]

  • Cálculo de IC: Substituindo pelos valores obtemos o intervalo de confiança 95%

    IC0.95(σ2)=[9×4.8219.02,9×4.822.07]=[10.90,76.8]IC_{0.95}(\sigma^{2}) = \left[\frac{9 \times 4.8^2}{19.02}, \frac{9 \times 4.8^2} {2.07}\right] = \left[10.90, 76.8\right]